La fondation de l'algèbre linéaire repose sur deux interprétations distinctes mais mathématiquement équivalentes de l'équation $Ax = b$. Nous passons de la perspective traditionnelle Représentation par lignes, où nous cherchons l'intersection d'hyperplans géométriques, à la perspective plus puissante Représentation par colonnes, qui considère la matrice $A$ comme un ensemble de vecteurs de base combinés linéairement pour construire le vecteur cible $b$.
1. La géométrie de la solution
Dans la perspective par lignes, chaque équation d'un système 3x3 représente un plan dans $\mathbb{R}^3$. La solution $x = (2, 3, 4)$ est le point unique où ces trois plans se croisent. Mathématiquement, $b$ est calculé ligne par ligne en utilisant le produit scalaire (un produit scalaire entre une ligne et une colonne) :
$b = [A(1, :) \cdot x; A(2, :) \cdot x; A(3, :) \cdot x]$
Inversement, la Représentation par colonnes interprète $Ax = b$ comme une demande d'une combinaison linéaire spécifique de vecteurs colonnes : $b = A(:, 1)x_1 + A(:, 2)x_2 + A(:, 3)x_3$. Ici, la matrice $A$ est vue comme un ensemble de directions, et les variables $x_i$ sont les poids (scalaires) attribués pour atteindre la destination $b$. Comme souligné dans la théorie fondamentale : Représentation par colonnes : $Ax = b$ demande une combinaison de colonnes pour produire $b$.
Considérons $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$. Calculer $ad - bc$ donne $2 - 2 = 0$. Cette matrice est singulière. Dans la représentation par lignes, les droites sont parallèles. Dans la représentation par colonnes, les deux colonnes sont sur la même droite ; nous ne pouvons pas atteindre un vecteur $b$ qui n'est pas sur cette droite.
2. $A$ comme transformation linéaire
Multiplier un vecteur par $A$ n'est pas seulement un calcul ; c'est une transformation linéaire. Elle satisfait le principe de linéarité : $Aw = cAu + dAv$ (où $w = cu + dv$). Cela confirme que $A$ est un opérateur qui transforme des vecteurs d'un espace vers un autre, potentiellement impliquant une rotation ou une projection (Diagramme, p. 42).
- Règle des dimensions : $(m \times n)(n \times p) = (m \times p)$ (Page 72).
- Composantes de l'identité : Les vecteurs de base standard $e_1 = [1,0,0]^T, e_2 = [0,1,0]^T, e_3 = [0,0,1]^T$ définissent les dimensions de cet espace (Diagramme, p. 80).
- Note avancée : La formule de Woodbury-Morrison est le « lemme d'inversion matricielle » en ingénierie, utilisée pour mettre à jour les inverses après de petites modifications de $A$.